正交幅度调制（QAM）作为现代数字通信的核心技术，通过幅度和相位联合调制实现了高频谱效率传输。从Wi-Fi到5G，从光纤通信到卫星链路，QAM技术始终扮演着关键角色。误码率（BER）作为衡量通信系统可靠性的核心指标，其理论计算方法对系统设计具有重要指导意义。本文将系统性推导4QAM、16QAM的BER表达式。
4-QAM#
1. 信号能量#
在一个4-QAM的星座图中，以A点举例。
SA=E+jEEs=(E)2+(E)2=2E其中，E 是 I 和 Q 两个维度的各自的幅度，E 是每个维度的能量，每个符号在两个幅度上的能量之和是 2E。
因为是4-QAM，每个符号携带的比特数为 log2(M)=2，因此：
Eb=log2(M)Es=2Es=E
2. AWGN信道#
在AWGN信道中，接收到的信号 r 可以表示为：
r=s+n其中 s 是发送的信号，n 是噪声，为复高斯随机变量，其实部 nI 与虚部 nQ 相互独立，每个正交的分量都服从均值为0，方差 σ2=2N0 的分布，其中整个复信号的方差为 N0。
3. 判决#
在接收端，采用最小距离判决规则，即选择与接收信号 r（也就是A点）欧氏距离最小的符号点。由于4-QAM符号点是对称的，判决区域可以用坐标轴划分：
- I 分量：如果 rI>0，判定 sI=E，否则 sI=−E。
- Q 分量：如果 rQ>0，判定 sQ=E，否则 sQ=−E。
I 和 Q 的判决是相互独立的。
4. 计算BER#
噪声 nI 和 nQ 服从高斯分布：
nI∼N(0,2N0),nQ∼N(0,2N0)Q函数的定义为：
Q(x)=2π1∫x∞e−2t2dt对于随机变量 X∼N(μ,σ2)，有：
P(X<a)=Q(σμ−a)P(X>a)=Q(σa−μ)以A点举例，s=(E,E)。在接收端，从I分量的角度，计算A落在错误的区域 rI<0 的概率：
r=E+nIP(rI<0)=P(E+nI<0)=P(nI<−E)=Q(σE)则落在I分量上正确的概率为 1−Q(σE)，同时在两个分量上正确的概率为：
[1−Q(σE)]2在两个分量上出错的概率（符号错误率）为：
Pser=1−[1−Q(σE)]2=2Q(σE)−Q(σE)2代入 σ=N0/2 和 E=Eb：
Pser=2Q(N0Es)−Q(N0Es)2当 N0Eb≫1 时，可以忽略掉高阶项 Q(⋅)2：
Pser≈2Q(N0Es)BER≈Bits per SymbolPser=Q(N0Es)=Q(N02Eb)
16-QAM#
1. 信号能量#
在一个16-QAM的星座图中，有三种类型的点：角点，边缘点，内点。
其中：
- 角点：J、G、P、M
- 边缘点：I、H、E、F、O、N、K、L
- 内点：A、B、C、D
本文的角点、边缘点、内点分别使用 P:(3E,−3E)、H:(E,3E)、A:(E,E) 来举例。
SA=E+jESH=E+j3ESP=3E−j3E其中，E 是 I 和 Q 两个维度的各自的幅度，E 是每个维度的能量。
因为是16-QAM，每个符号携带的比特数为 log2(M)=4，因此：
Eb=log2(M)Es=4Es其中16个点的平均符号能量 Es 为：
Es=1618E⋅4+10E⋅8+2E⋅4=10EE=10Es=104Eb=52Eb2. AWGN信道#
在AWGN信道中，接收到的信号 r 可以表示为：
r=s+n其中 s 是发送的信号，n 是噪声，为复高斯随机变量，其实部 nI 与虚部 nQ 相互独立，每个正交的分量都服从均值为0，方差 σ2=2N0 的分布，其中整个复信号的方差为 N0。
3. 判决#
3.1 内点#
以A点为例，需要满足在 I:(0,2E)，Q:(0,2E) 的范围内，即判定为正确的信号。
在接收端，从I分量的角度，计算A落在错误的区域 rI<0 或 rI>2E 的概率：
r=E+nIP(rI<0)=P(E+nI<0)=P(nI<−E)=Q(σE)P(rI>2E)=P(E+nI>2E)=P(nI>E)=Q(σE)在I分量上出错的概率为：
Q(σE)+Q(σE)=2Q(σE)则落在I分量上正确的概率为 1−2Q(σE)。在这个例子中，I分量和Q分量相互独立，概率相同，同时在两个分量上正确的概率为：
[1−2Q(σE)]2在两个分量上出错的概率为：
Pser1=1−[1−2Q(σE)]2=4Q(σE)−4Q(σE)23.2 边缘点#
以H点为例，需要满足在 I:(0,2E)，Q:(2E,+∞) 的范围内，即判定为正确的信号。
在接收端，从I分量的角度，计算H落在错误的区域 rI<0 或 rI>2E 的概率：
同内点的情况，在I分量上出错的概率为 2Q(σE)。
则落在I分量上正确的概率为 1−2Q(σE)。
从Q分量的角度看，计算H落在错误的区域 rQ<2E 的概率：
r=3E+nQP(rQ<2E)=P(3E+nQ<2E)=P(nQ<−E)=Q(σE)则落在Q分量上正确的概率为 1−Q(σE)。
同时在两个分量上正确的概率为：
Pcorrect=[1−2Q(σE)]⋅[1−Q(σE)]在两个分量上出错的概率为：
Pser2=1−Pcorrect=3Q(σE)−2Q(σE)23.3 角点#
以P点为例，需要满足在 I:(2E,+∞)，Q:(−2E,−∞) 的范围内，即判定为正确的信号。
在接收端，从I分量的角度，计算P落在错误的区域 rI<2E 的概率：
r=3E+nIP(rI<2E)=P(3E+nI<2E)=P(nI<−E)=Q(σE)则落在I分量上正确的概率为 1−Q(σE)。在这个例子中，I分量和Q分量相互独立，概率相同，同时在两个分量上正确的概率为：
[1−Q(σE)]2在两个分量上出错的概率为：
Pser3=1−[1−Q(σE)]2=2Q(σE)−Q(σE)24. 计算BER#
三类符号点出错的概率分别为：
- 内点：Pser1=4Q(σE)−4Q(σE)2
- 边缘点：Pser2=3Q(σE)−2Q(σE)2
- 角点：Pser3=2Q(σE)−Q(σE)2
总的符号错误概率为：
Pser=164⋅Pser1+8⋅Pser2+4⋅Pser3=3Q(σE)−49Q(σE)2根据 σ=2N0 和 E=52Eb：
σE=N0/2E=N02E=N02⋅52Eb=54N0Eb代入得：
Pser=3Q(54⋅N0Eb)−49Q(54⋅N0Eb)2当 N0Eb≫1 时，可以忽略掉高阶项：
Pser≈3Q(54⋅N0Eb)BER≈Bits per SymbolPser=43Q(54⋅N0Eb) 
